◾벡터의 외적

🔻외적 cross product, vector product

🔸정의

• 성분적 정의) $\R^3$ 공간의 벡터 $x(x_1,x_2,x_3)와~y(y_1,y_2,y_3)$의 외적 $x\times y$는 다음과 같이 정의한다. (’x cross y’라고 읽는다.)

  $$ x\times y=(x_2y_3-x_3y_2,~x_3y_1-x_1y_3,~x_1y_2-x_2y_1) $$

  • 외적에 해당하는 벡터 구하는 방법)

    $\R^3~ 벡터공간의~표준기저를~z(i,j,k)라고~하자.$ ( $i=<1,0,0>,~j=<0,1,0>,~k=<0,0,1>$)

    $$ x\times y=det(\begin{bmatrix} i&j&k \\x_1&x_2&x_3 \\y_1&y_2&y_3 \end{bmatrix}) \\=\Bigg|\begin{bmatrix}x_2&x_3\\y_2&y_3\end{bmatrix}\Bigg|i - \Bigg|\begin{bmatrix}x_1&x_3\\y_1&y_3\end{bmatrix}\Bigg|j+\Bigg|\begin{bmatrix}x_1&x_2\\y_1&y_2\end{bmatrix}\Bigg|k \\=(x_2y_3-x_3y_2)\begin{bmatrix}1\\0\\0\end{bmatrix}+(x_3y_1-x_1y_3)\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}+(x_1y_2-x_2y_1)\begin{bmatrix}0\\0\\1\end{bmatrix} \\=<x_2y_3-x_3y_2,~x_3y_1-x_1y_3,~x_1y_2-x_2y_1> $$

• 기하학적 정의)

  

  • 두 벡터의 외적은 두 벡터가 이루는 평면에 수직인 방향으로 새로운 벡터를 만들어 낸다.

    이 때, 수직은 ‘위’, ‘아래’ 두 가지 방향이 존재하는데 외적 연산의 $x\times y$ 순서에 따라 오른손 법칙의 엄지 방향을 따른다.

    벡터의 크기는 두 벡터가 이루는 평행사변형의 넓이를 따른다.

🔸외적의 특징, 성질

• 외적은 3차원 벡터공간 ($\R^3$) 에서만 가능한 연산이다.

• $\R^3$공간 벡터의 표준기저($i,j,k$)에 대한 외적의 성질

  1. $i\times i=j\times j=k\times k=0$
  2. $i\times j=k,~j\times k = i,~k\times i = j$
  3. $i\times k=-j,~j\times i=-k, ~k\times j = -i$

• 외적은 교환법칙이 성립하지 않는다. → $x\times y \ne y\times x$

• $\R^3$공간 벡터의 임의의 벡터($x,y,z$)와 스칼라 c 에 대한 외적의 성질

  $$ 1.~x\times y=-~y\times x \\2.~x\times(y+ z)=(x\times y)+(x\times z)~~오른쪽~분배법칙이~성립한다. \\3. ~(x+y)\times z=(x\times z)+(y\times z)~~왼쪽~분배법칙이~성립한다. \\4.~c(x\times y)=(cx)\times y=x\times(cy)~~스칼라는~외적에~영향을~주지~않는다. \\5.~x\times 0=0\times x=0 \\6.~x\times x=0 $$

• 서로 나란한 벡터끼리 외적하면 결과는 영벡터이다.

  $\because$ 두 벡터가 이루는 평행사변형의 넓이가 0이므로 외적의 결과는 크기가 0인 벡터이다. 크기가 0인 벡터는 영벡터뿐이다.

• 내적과 외적 중에서는 외적의 연산 우선순위가 더 높다. 왜냐하면, 내적의 결과는 스칼라이기 때문에, 내적을 한 후에 스칼라와 벡터를 외적할 수 없기 때문이다.

🔻벡터 외적의 주요 정리들, 외적의 기하학적 의미들

🔸$\R^3$ 공간에 있는 벡터 외적의 norm과 평행사변형 넓이

• 외적의 norm은 두 벡터가 이루는 평행사변형의 넓이와 같다.

  $$ ||x\times y||=||x||~||y||~sin\theta $$

  • 증명)

    

🔸외적을 활용한 삼각형의 넓이 구하기