🔸정의⭐

$$ T\in\R^{m\times n},\mathbf{u}\in\R^n\rightarrow \begin{matrix}T(\mathbf{u})=\mathbf{Tu} \\ T:\R^{n}\rightarrow \R^m\end{matrix} $$

• Linear transformation : 행렬 T를 이용하여 n 차원의 벡터를 m 차원으로 변환하는 일종의 ‘함수’이다.

🔸선형성 Linearity

• Homogeneity와 Additivity를 만족하는 성질

  • Homogeneity ex) $f(\alpha x)=\alpha f(x)$ → 곱셈에 대해 분해 가능
  • Additivity ex) $f(x+y)=f(x)+f(y)$ → 덧셈에 대해 분해 가능

• 선형변환의 Homogeneity

  $$ T(\alpha\mathbf{u})=\alpha T(\mathbf{u}) \\T(\alpha\mathbf{u})=\alpha(T\mathbf{u}) \leftarrow [T(\alpha u)]i=\Sigma{k=1}^nT_{ik}\alpha\mathbf{u}k=\alpha\Sigma{k=1}^nT_{ik}\mathbf{u}_k=\alpha[Tu]_i

  $$

• 선형변환의 Additivity

  $$ T(\mathbf{u}+\mathbf{v})=T(\mathbf{u})+T(\mathbf{v}) \\ T(\mathbf{u}+\mathbf{v})=T\mathbf{u}+T\mathbf{v} $$

🔻선형변환의 종류⭐⭐⭐

🔸대칭 변환 Reflection transformation⭐

ex) 2차원 벡터(직선)의 x축 대칭변환

$$ T(u)=\begin{bmatrix} 1&0\\0&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} u_1\\u_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} u_1\\-u_2\end{bmatrix} $$

ex) 2차원 벡터(직선)의 y축 대칭변환

$$ T(u)=\begin{bmatrix} -1&0\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} u_1\\u_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -u_1\\u_2\end{bmatrix} $$

ex) 2차원 벡터(직선)의 원점 대칭변환

$$ T(u)=\begin{bmatrix} -1&0\\0&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} u_1\\u_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -u_1\\-u_2\end{bmatrix} $$

🔸사영 변환 Projection transformation⭐

ex) 2차원 벡터(직선)의 x축 사영변환

$$ T(u)=\begin{bmatrix} 1&0\\0&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix} u_1\\u_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} u_1\\0\end{bmatrix} $$

ex) 2차원 벡터(직선)의 y축 사영변환

$$ T(u)=\begin{bmatrix} 0&0\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} u_1\\u_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 0\\u_2\end{bmatrix} $$

• 특징 : 사영변환은 원본을 복원할 수 없는 변환이다.

🔸스케일 변환 Scaling transformation⭐