◾배경지식

🔻집합과 그래프

🔸집합곱(곱집합) = 데카르트 곱 = Catesian Product

• 집합 A, B가 있을 때, 두 집합의 곱셈을 정의하는 방법이다.

  • 성분적 정의)

    • $A\times B$는 두 집합의 성분을 순서쌍으로 구성하는 집합이다.

    $$ A=\lbrace a_1,a_2\cdots a_n|a_i\in\R\rbrace,~~B=\lbrace b_1,b_2\cdots b_n|b_i\in\R\rbrace \\A\times B=\Big\lbrace(a_i,b_i)|(a_i\in A,~b_i\in B)\Big\rbrace $$

    • (a,b) : 순서쌍 (ordered pair) 라고 하며, 이 때 a와 b의 순서를 지켜야 한다.

      $(a_i,b_i) \ne (b_i,a_i)$

  • 그림적 정의)

    • 그래프로 표현 가능하다 → 집합곱은 두 원소들이 직교하는 지점이다.

      

      그래프 상의 모든 직교점이 집합곱의 성분(순서쌍)과 **‘일대일 대응’**한다.

🔸2차원 공간

• 성분적 정의)
  • 두 집합 X,Y의 집합곱으로 2차원 평면 공간을 생성할 수 있다.

    • $X=\lbrace x_i|(x_i\in\R,i=1,\cdots,\infin)\rbrace$ 즉, 집합 X는 모든 실수값 집합 $Y=\lbrace y_i|(y_i\in\R,i=1,\cdots,\infin)\rbrace$ 집합 Y도 모든 실수값 집합

    • 두 집합을 집합곱한다.

      $$ X\times Y=\R\times\R=\Big\lbrace (x,y)|(x,y\in\R)\Big\rbrace=\R^2 $$

      • $\R^2$ 은 모든 (x,y) 순서쌍을 표현 가능하다.
• 그림적 정의)

  • 실수집합 $\R$ 은 그래프 상에서 ‘수직선’으로 표현할 수 있다.

  • $\R^2$는 직교하는 2개의 수직선으로 나타낼 수 있다. 해당 직사각 좌표계(rectangular cordinate)는 모든 “순서쌍/평면 위의 점/벡터”를 표현할 수 있다.

    

◾벡터 vector

• 벡터란 ? **벡터공간(◾벡터공간 vector space )**의 성분(원소)이다.

  • 벡터공간이 무엇인지 알기 위해 우선 벡터의 연산, 연산 성질, 벡터의 표현 등을 알아야 한다.

    벡터공간을 이해하고 나면, 자연스레 벡터가 무엇인지 알게 된다.

🔻벡터에 대한 3가지 관점

벡터의 기본 연산(상수배, 덧셈) - 공돌이의 수학정리노트 (Angelo's Math Notes)

1) 유클리드 벡터 euclidean vector (기하학적 관점)

• 물리학에서 흔히 말하는 의미의 벡터로, ‘크기’와 ‘방향’으로 정의되는 값이다.

  • 벡터 자체는 좌표계의 변환과 관계없이 불변하는 특징(invariance)을 갖고 있다.

    • 아래 그림처럼 빨간선(벡터)은 $(x,y)와~(x_{new},y_{new})$좌표계처럼 좌표계의 움직임에 따라 벡터의 요소(scalar)가 변할 순 있어도 벡터 자체가 움직이진 않는다.

    

    [그림1]

2) 벡터 = 리스트 (컴퓨터 사이언스 관점)

• 또, 벡터에 대해 생각해볼 수 있는 정의는 순서를 맞춰 숫자를 나열한 리스트라는 관점이다.

  이 관점은 벡터는 하나의 데이터 포인트라는 관점에서 매우 유용하다.

  또한, 이런 방식으로 벡터를 생각하게 되면 차원을 무한히 늘리는데에 큰 부담이 없다. 그저 숫자만 더 나열하면 더 고차원의 벡터가 되기 때문이다.

  그리고 벡터 성분이 좌표계의 변환에 대해 가변적(not invariant)이라는 점을 잘 표현해주고 있다.

• 가변적이라는 말을 좀 더 잘 이해하기 위해 [그림 1]을 다시 보자.

  [그림 1]에서는 벡터를 두 가지 좌표계로 표현하고 있는데, “벡터”는 가만히 있더라도 벡터를 보는 좌표계가 바뀌게 되면 벡터를 표현하는 “좌표(=벡터 성분)”가 바뀌는것을 볼 수 있다.