📢중요한 것 위주 preview

• 행렬의 종류
• 주요한 행렬
  • 기본행렬을 어떤 행렬의 왼쪽에 곱했을 때 나타나는 특징
  • 역행렬의 성질, 가역행렬 정리들, 가역행렬의 역행렬 구하는 방법
  • 대각행렬은 덧셈, 곱셈 연산에 대해 닫혀있다.
  • 삼각행렬도 덧셈, 곱셈에 대해 닫힌 연산.
• 행렬 연산
  • 기본적인 행렬곱만 정리됨 (내적, 외적 등은 다른 페이지에 정리)
  • 행렬곱 연산 성질
• 행렬과 연립선형방정식
  • 행렬방정식
  • 행렬방정식의 해집합 + 자유변수
  • 가우스-조던 소거법
  • 역원을 활용한 행렬방정식 풀이
  • LU분해를 활용한 행렬반정식 풀이

◾행렬 Matrix

🔻개념

🔸구성

• 수나 식을 사각형 모양으로 배열하고 괄호로 묶어 놓은 것

  

  • 성분 (원소, element, entry)

    • 피벗 Pivot (추축성분, pivot entry) : 각 행에서 0이 아니고 맨 왼쪽에 위치한 성분

      ex)

      

    • 주대각 성분 (main diagonal entry) : 행과 열의 번호가 같은 성분

      ex) $a_{11},a_{22},a_{33},...$

      

  • 행 (row), 열 (column)

  • 크기 (size) : row X columns >> (row by col이라고 읽음)

    • 크기가 m by n인 행렬 A를 $A_{m\times n}$으로 표기한다.

  • 행벡터, 열벡터

    

    m by 1 행렬이라 부르기도 하고, 열벡터라 부르기도 한다.

    

    1 by n 행렬이라 부르기도 하고, 행벡터라 부르기도 한다.

🔸행렬의 종류

• 기본행렬 Elementary matrix

  • 항등행렬에 한 번의 기본행연산(ERO)을 수행하여 얻어진 행렬이다.

    

  • 기본행렬은 가역행렬이다.

  • 기본행렬의 역행렬도 기본행렬이다.

    • 기본행렬의 역행렬 → 기본행렬의 역행렬

  • 기본행렬을 어떤 정방행렬A의 왼쪽에 곱하면, 기본행렬에 취한 기본행연산을 A에 수행한 것과 같은 결과가 나타난다.

    

• 전치행렬 Transposed matrix

  • 행렬의 행과 열을 각각 치환한 행렬
  • 표현 : $행렬~A의~전치행렬은~A^T$

• 정방행렬(정사각행렬) Square matrix

  • 행과 열의 크기가 같은 행렬

    

• 대각행렬 Diagonal matrix

  • 대각선 상의 성분(주대각 성분)을 제외한 모든 성분이 0인 정방행렬
  • 주대각 성분의 값만 사용하여 $diag(a_{11},a_{22},...,a_{nn})$ 으로 표기한다.

  $$ ~~\begin{bmatrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} $$

• 첨가행렬(확대행렬) Augmented matrix

  • 행렬방정식에서 계수행렬과 상수벡터를 묶어서 표현한 행렬

    ex) 연립선형방정식을 행렬방정식으로, 행렬방정식을 첨가행렬로 변환한 예시

    $$ 연립선형방정식~\begin{cases} x_1+2x_2+x_3=3 \\-x_2-x_3=-2 \\3x_1-2x_2-3x_3=-1 \end{cases} $$

    

• 행 사다리꼴 행렬 Row Echelon Form matrix

  • 다음 조건을 만족하는 행렬이다.

    1. 모든 성분이 0인 행은 맨 아래 행에 있어야 한다.
    2. 모든 행의 피봇(추축성분)은 위쪽 행의 피봇보다 오른쪽 열에 있다.
    3. 모든 피봇은 1이고, 피봇 아래쪽의 모든 성분은 0이다.

    행 사다리꼴 행렬인 예시)

    

    행 사다리꼴 행렬이 아닌 예시)

    

  • 특징 : 모든 행렬은 ERO(행렬방정식 기본연산)를 통해 행 사다리꼴 행렬로 만들 수 있다.

• 기약행 사다리꼴 행렬 Reduced Row Echelon Form matrix

  • 모든 피봇이 해당 열에서 0이 아닌 유일한 성분인 행 사다리꼴 행렬이다.

    즉, 피봇이 있는 열에는 피봇을 제외한 나머지 성분은 모두 0이어야 한다.

    기약행 사다리꼴 행렬인 예시)

    

    기약행 사다리꼴 행렬이 아닌 예시)