◾확률

🔻사건과 확률

• 시행 (trial) : 동일한 조건 아래에서 여러 번 반복할 수 있고, 그 결과가 우연에 의해 결정되는 실험이나 관찰, 행위
• 기본사건 (elementary event) (근원사건) : 확률적 실험에서 나타날 수 있는 가장 기본적인 결과 = 사건의 최소단위 = 표본공간의 원소
• 사건 (event) : 표본공간의 부분집합, 기본사건들의 집합.
  • 합사건 : A ∪ B
  • 곱사건 : A ∩ B
  • 여사건 : (A)^c
  • 배반사건 : 서로 동시에 일어나지 않는 사건 ⇒ A ∩ B = ∅
  • 공사건 : 어떤 시행에서 절대 일어날 수 없는 사건. 공집합에 대응된다.
• 표본공간 (sample area) (전사건) : 가능한 모든 결과들의 집합 = 근원사건의 전체집합
  • S 또는 Ω로 표현한다.

🔸확률 Probability

• 고전적 정의 : 가능한 결과의 수가 N이고, 각 결과가 나타날 가능성이 모두 같을 때, 사건 A에 속하는 결과의 수가 m이 나오는 비율.

  • 공식)

    $$ \operatorname{P}(A) = \frac{n(A)}{N} $$

• 경험적(통계적) 정의 : 실제로 실험을 통해 얻어내는 확률 ⇒ 상대도수 관점에서의 확률 정의

  • 공식)

    $$ \operatorname{P}(A) = \lim\limits_{N\rightarrow\infin}\frac{n(A)}{N} $$

• 공리적 정의 : 표본공간 S 에 대해 임의의 사건 A에 대하여 다음 3가지 조건을 만족하는 확률

  • 3가지 조건)

    $$ 1.\space\space 0 \leq \operatorname{P}(A) \leq 1 \\ 2.\space\space \operatorname{P}(S) = 1 \\ 3.\space\space \operatorname{P}(A_{1}\cup A_{2}\cup ...) = \operatorname{P}(A_{1}) + \operatorname{P}(A_{2}) + ... $$

🔸확률의 계산법칙

$$ P(A\cup B) = P(A)+P(B)-P(A\cap B) \\ P(A\cap B) = P(A)+P(B)- P(A\cup B) $$

$$ P(A^{c}) = 1-P(A)\\ P(\Omega)=1\text{ 이므로 }P(\varnothing)=0 \quad(\Omega:표본공간) $$

$$ A \subset B \space 이면 \space P(A)\leq P(B) $$

🔸확률 공간 Probability Space

• 3가지 구성요소
  • 표본공간 (sample area) : $\Omega$
  • 사건공간(표본공간의 부분집합) : $\mathcal{F}$
  • 확률함수(probability function) : 사건공간의 사건과 확률을 매핑하는 함수. $P$

🔸조건부 확률 Conditional Probability ⭐⭐⭐⭐⭐

• 한 사건이 일어날 것을 전제로 다른 사건이 발생할 확률

  ⇒ 사건 간에 ‘순서’ 개념이 있는 것. 확률의 덧셈법칙은 사건에 순서 개념이 없다.