초평면 (수학)

🔸정의

• 체 K 위의 벡터 공간 V의 부분 벡터 공간 $H{\subseteq} V$에 대하여, 다음 두 조건이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 H를 V의 벡터 초평면(vector hyperplane)이라고 한다.
  • 체 : 사칙연산이 자유로이 시행될 수 있고 산술의 잘 알려진 규칙들을 만족한느 대수 구조. 모든 체는 가환환(곱셈의 교환법칙이 성립)이다.
• 영어 정의 : a subspace of one dimension less than its ambient space

간단히 : n차원 공간에서의 hyperplane은 (n-1)차원 공간이다.

2차원 공간에서의 hyperplane은 1차원(선)

3차원 공간에서의 hyperplane은 2차원(평면)

초평면 (Hyperplane)

• 더 간단히 설명

  • 2개의 변수로 만들어진 1차식 $ax+by+c=0$ (직선방정식)은 직선 = 직선은 2차원 공간에서 만들어짐
  • 3개의 변수로 만들어진 1차식 $ax+by+cz+d=0$(평면방정식)은 평면 = 평면은 3차원 공간에서 만들어짐
  • n개의 변수로 만들어진 1차식 $a_1x_1+\cdots+a_nx_n+c=0$

  n-1차원의 ‘초평면’은 n차원 공간에서 만들어짐

• 일차식으로 만들어지는 도형을 ‘초평면(hyperplane)’이라고 부르기로 한 것.

• $a_1x_1+\cdots+a_nx_n+c=0$ 식을 다르게 표현하면

  $$ a=<a_1,\cdots,a_n>~,~~x=<x_1,\cdots,x_n> \\ax^T+c=a^Tx+c=0 $$

🔸hyperplane의 활용

• 초평면은 공간을 분할하는 역할을 수행한다.
• SVM(Support Vector Machine)