◾벡터의 크기

🔻Norm

🔸정의

• 벡터의 norm : 벡터의 크기를 계산하는 함수
• 표기
  • 벡터 $\bold{u}$의 norm = $||\bold{u}||$

🔸norm의 성질⭐

1. $||\bold{u}|| \ge 0$
2. $||\alpha\bold{u}|| =|\alpha| ~||\bold{u}||~~(\alpha \in \R)$ (homogeneity)
3. $||\bold{u}+\bold{v}|| = ||\bold{u}||+||\bold{v}||$ (덧셈에 대한 분해가 가능) (additivity)
4. $||\bold{u}|| =0$ 인 경우는 $\bold{u}=\bold{0}$ (영벡터) 일 때뿐이다.

🔸유클리드 norm , L2 norm

• 그럼적 정의)

  벡터를 화살표로 표현했을 때, 벡터의 크기는 **화살표의 ‘길이’**이다. 화살표의 길이는 곧 원점과 벡터 사이의 거리를 의미한다.

  구체화할 수 있는 2차원 공간(유클리드 공간)을 생각했을 때, 화살표의 길이는 유클리드 공간에서 정의되는 피타고라스의 정리에 의해 쉽게 구해진다.

  2차원 벡터의 크기는 각 성분으로 구성된 삼각형의 빗변의 길이이다.

  

  3차원 공간에서 보자.

  3차원 벡터의 크기는 3차원 벡터 성분으로 구성된 직육면체의 대각선 길이이다.

  

  ⇒ 피타고라스 정리가 성립함은 해당 공간이 ‘유클리드 공간’이라는 것이다. 유클리드 공간 내에서는 피타고라스 정리가 성립하므로 밑면의 대각션, 높이, 직육면체의 대각선이 이루는 삼각형의 빗변의 길이를 피타고라스 정리로 구할 수 있다. → 벡터(화살표)의 길이를 삼각형법으로 구할 수 있다.

  n 차원에서 벡터의 크기 또한 삼각형법으로 구할 수 있다고 추론할 수 있다.

• 성분적 정의)

  • 수식)

    $$ ||v||_2 = \sqrt{|v_1|^2+|v_2|^2+\cdots+|v_n|^2}=(|v_1|^2+|v_2|^2+\cdots+|v_n|^2)^{\frac{1}{2}} $$

🔸L1-norm (Manhattan Distance)

• 성분적 정의)

  $$ ||\mathbf{v}||1= (\sum{i=1}^n|v_i|^1)^{\frac{1}{1}} $$

• 그림적 정의)

  • grid(격자) 공간에서의 거리 개념.

  

🔸p-norm

$$ ||\mathbf{v}||p=(\sum{i=1}^n|v_i|^p)^{\frac{1}{p}} $$