📢 행렬을 분해하여 표현하는 이유 : 컴퓨터가 $A_{m\times p},~B_{p\times n}$ 두 행렬에 대해 곱셈을 실행할 때, 곱셈 연산을 총 mnp번 수행해야 한다. 이는 비효율적이기 때문에, 행렬을 연산하기 쉬운 형태로 분해하는 작업이 중요하다.

◾서로 다른 행렬의 합으로 분해

🔻대칭행렬과 반대칭행렬의 합

🔸전치행렬의 합과 차

• 정리1)

  $$ 정방행렬~A에~대해~A+A^T는~대칭행렬이고,~A-A^T는~반대칭행렬이다. $$

  • 증명)

    • 대칭행렬의 정의, 전치행렬의 성질, 행렬합의 교환법칙을 사용

    $$ A=[a_{ij}]_{n\times n} \\A+A^T=B라~하자. \\A+A^T가~대칭행렬이라면~B=B^T를~만족해야~한다. \\B^T=(A+A^T)^T=A^T+A \\덧셈은~교환법칙~성립\rightarrow B^T=A^T+A=A+A^T=B $$

    • 반대칭행렬도 동일한 방식으로 반대칭행렬의 정의, 전치행렬의 성질, 행렬합의 교환법칙과 결합법칙을 활용하여 증명 가능.

      $$ A-A^T=C라~하자. \\반대칭행렬의~정의에~따라~C^T=-C를~만족해야~한다. \\(A-A^T)^T=A^T-A=-A+A^T \\결합법칙\rightarrow -A+A^T=-(A-A^T)=-C \\\Rightarrow C^T=-C $$

• 정리2)

  $$ 정방행렬~A는~다음과~같이~표현될~수~있다. \\A=\frac{1}{2}(A+A^T)+\frac{1}{2}(A-A^T) $$

  • 예시)

    $$ A=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9 \end{bmatrix},~ A^T=\begin{bmatrix}1&4&7\\2&5&8\\3&6&9 \end{bmatrix} \\A+A^T=\begin{bmatrix}2&6&10\\6&10&14\\10&14&18 \end{bmatrix} \\A-A^T=\begin{bmatrix}0&-2&-4\\2&0&-2\\4&2&0 \end{bmatrix} \\1/2(A+A^T)+1/2(A-A^T)=\begin{bmatrix}1&3&5\\3&5&7\\5&7&9 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0&-1&-2\\1&0&-1\\2&1&0 \end{bmatrix} \\=\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9 \end{bmatrix} = A $$

◾LU분해

🔸정의

• 임의의 행렬 A를 하삼각행렬 L과 상삼각행렬 U의 곱인 $A=LU$로 표현하는 것을 LU 분해 (LU matrix decomposition) 또는 LU 행렬 분해라고 한다.

  

  • 삼각행렬이 정방행렬이기 때문에 엄밀히 따져서는 정방행렬에 대해서만 LU분해를 할 수 있다.

🔸LU 분해가 성립할 조건

• 정리) 행렬 A에 대하여, 한 행에 0이 아닌 상수배를 하는 기본행연산, 위쪽 행의 상수배를 아래쪽 행에 더하는 기본행연산만을 적용하여 상삼각행렬로 만들 수 있어야 한다.

  • 기본행연산의 3가지 종류 : 행 교환, 상수배, 상수배를 다른 행에 덧셈

    → LU분해가 성립되기 위해선 A를 상삼각행렬로 만드는 과정에서 행 교환은 사용되어선 안 된다. (증명을 통해 확인)

  • 증명)

    

    [아이디어]

    $$ A를~상삼각행렬로~변환시키는~행렬의~역행렬이~하삼각행렬이어야~한다. \\(E_n\cdots E_1)^{-1}=E_1^{-1}\cdots E_n^{-1}=L $$

    • 하삼각행렬과 상삼각행렬은 각각의 덧셈과 곱셈 연산에 대해 닫혀있다.

      → 하삼각행렬과 하삼각행렬의 곱은 하삼각행렬이다.

    그렇다면, $E_1^{-1}\cdots E_n^{-1}$ 이 하삼각행렬이기 위해선 각각의 $E_i^{-1}$이 모두 하삼각행렬이어야 한다.

    • 기본행렬의 역행렬도 기본행렬과 유사하다. → 기본행렬의 역행렬

      

    $\therefore A를~U로~만드는~기본행연산에~상수배~기본행연산과\\~위쪽행의~상수배를~아래에~더하는~기본행연산만~사용될~때,\\~A는~LU분해가~가능하다.$

+) 이를 통해 알 수 있는 점

n차 정방행렬 A를 상삼각행렬 L로 만드는 기본행연산은 최대 (n-1) 번이다.

→ LU분해를 하는 데에 필요한 연산 횟수는 최대 (n-1) 번이다.

??? L을 구할 때 기본행렬들의 역행렬을 행렬곱해야 하는데 왜 연산이 (n-1) 번밖에 없지?

답)